Четные цифры это


Чётность нуля - Википедия

Иллюстрация чётности нуля: 0 объектов поровну разделили между чашами весов, и они находятся в равновесии

Чётность нуля — вопрос, считать ли ноль чётным или нечётным числом. Ноль — чётное число. Однако чётность нуля вызывает сомнения в среде людей, недостаточно знакомых с математикой. Большинство людей задумываются дольше, прежде чем идентифицировать 0 как чётное число, по сравнению с идентификацией обычных чисел вроде 2, 4, 6 или 8. Некоторые студенты, изучающие математику, и даже некоторые преподаватели, ошибочно считают ноль нечётным числом, или чётным и нечётным одновременно, или не относят его ни к одной категории.

По определению, чётное число — такое целое число, которое делится на 2 без остатка. Ноль обладает всеми свойствами, которые присущи чётным числам, например, 0 с обеих сторон граничит с нечетными числами, каждое десятичное целое число имеет такую же чётность, как и последняя цифра этого числа, поэтому, поскольку 10 является чётным, то 0 также будет чётным. Если y{\displaystyle y} является четным числом, тогда y+x{\displaystyle y+x} имеет такую чётность, что имеет x{\displaystyle x}, а x{\displaystyle x} и 0+x{\displaystyle 0+x} всегда имеют одинаковую чётность.

Ноль также соответствует закономерностям, которые образуют другие чётные числа. Правила чётности в арифметике, такие как чётное−чётное=чётное, предполагают, что 0 также должно быть чётным числом. Ноль является аддитивным нейтральным элементом группы чётных чисел, и он является началом, с которого рекурсивно определены другие чётные натуральные числа. Применение такой рекурсии по теории графов к вычислительной геометрии полагается на то, что ноль является чётным. Ноль делится не только на 2, он делится на все степени двойки. В этом смысле, 0 является «наиболее чётным» числом из всех чисел.

Почему ноль является чётным[edit | edit source]

Чтобы доказать, что ноль является чётным, можно непосредственно использовать стандартное определение «чётного числа». Число называют чётным, если это число кратно 2. Например, причиной того, что число 10 является чётным, является то, что оно равно 5 × 2. В то же время, ноль также является целым кратным 2, то есть 0 × 2, следовательно ноль является чётным[1].

Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.

Простые объяснения[edit | edit source]

Слева изображены группы с 0, 2 и 4 белыми объектами по парам; справа с 1, 3 и 5 объектами, где объект без пары обозначен красным. Область с 0 объектами не содержит красных объектов[2].

Ноль — это число, а числа используются для счёта. Если существует множество объектов, то числа используют, чтобы описать, сколько их. Ноль — это мера в случае, когда нет ни одного объекта; в более формальном смысле, это количество объектов в пустом множестве. Используя понятие чётности, создадим группы по паре объектов. Если объекты множества можно разделить и маркировать по парам без остатка, тогда количество объектов чётное. Если существует объект, не вошедший в группы, тогда количество объектов является нечётным. Пустое множество содержит 0 пар объектов и не имеет никакого остатка от такой группировки, поэтому ноль является чётным[3].

Все эти доводы можно проиллюстрировать, нарисовав объекты по парам. Трудно изобразить нулевые пары или показать отсутствие нечётного остатка, поэтому удобным будет нарисовать другие группы и сравнить их с нулём. Например, в группе из пяти объектов существуют две пары. Кроме того, в ней есть объект, который не относится ни к одной паре — поэтому число 5 является нечётным. В группе из четырёх объектов нет объектов, которые остались, только две пары, поэтому 4 является чётным. В группе только с одним объектом нет пар и есть один остаток, поэтому 1 является нечётным. В группе с нулём объектов нет пар и нет остатка, поэтому 0 является чётным[4][5].

Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси. Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:

Чётные и нечётные числа чередуются между собой. Нет причины пропустить число ноль[6].

С помощью операции умножения чётность можно определить более формальным образом, используя арифметические выражения. Для каждого целого числа будет актуальна одна из форм: (2 × N) + 0 или (2 × N) + 1. Первое выражение соответствует чётным числам, а второе нечётным. Например, 1 является нечётным, поскольку 1 = (2 × 0) + 1, а 0 будет чётным, так как 0 = (2 × 0) + 0. Если такие выражения записать в таблицу по порядку, снова получим закономерность как на числовой оси[7].

Математический контекст[edit | edit source]

Чётные (синие) — подмножество Z Многоугольники с числами

Численные результаты теории обращаются к основной теореме арифметики и алгебраическим свойствам чётных чисел, поэтому вышеупомянутая конвенция имеет далеко идущие последствия. Например, факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию, означает, что для отдельного числа можно определить, имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 — чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. Из этого следует, что функция Мёбиуса принимает значение μ (1) = 1, что необходимо, чтобы она была мультипликативной функцией и работала формула вращения Мёбиуса[8][9].

Результат опроса школьников 1-6 классов в Великобритании[10]

Вопрос, является ли ноль чётным числом, поднимался в системе школьного образования Великобритании. Проводились многочисленные опросы мнения школьников по данному вопросу. Выяснилось, что ученики по-разному оценивают чётность нуля: некоторые считают его чётным, некоторые — нечётным, иные полагают, что он является особым числом — и тем и другим одновременно или ни тем ни другим. Причём ученики пятых классов дают правильный ответ чаще, чем ученики шестых классов[11].

Как показали исследования, даже преподаватели в школах и вузах недостаточно осведомлены о чётности нуля. Так, например, порядка 2/3 преподавателей Университета Южной Флориды ответили «нет» на вопрос «Является ли ноль чётным числом?»[12].

  1. ↑ Penner, 1999, p. 34 Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd . Penner uses the mathematical symbol ∃, the existential quantifier, to state the proof: «To see that 0 is even, we must prove that ∃k (0 = 2 k ) and this follows from the equality 0 = 2 ⋅ 0.»
  2. ↑ Compare Lichtenberg, 1972, p. 535 Fig. 1
  3. ↑ Lichtenberg, 1972, pp. 535—536 «… numbers answer the question How many ? for the set of objects … zero is the number property of the empty set … If the elements of each set are marked off in groups of two … then the number of that set is an even number.»
  4. ↑ Lichtenberg, 1972, pp. 535—536 «Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number.»
  5. ↑ Dickerson & Pitman, 2012, p. 191
  6. ↑ Lichtenberg, 1972, p. 537; compare her Fig. 3. «If the even numbers are identified in some special way … there is no reason at all to omit zero from the pattern.»
  7. ↑ Lichtenberg, 1972, pp. 537—538 «At a more advanced level … numbers expressed as (2 × ▢) + 0 are even numbers … zero fits nicely into this pattern.»
  8. ↑ Devlin, 1985, pp. 30–33
  9. ↑ Dehaene, Bossini & Giraux, 1993, pp. 376–377
  10. ↑ Frobisher, 1999, p. 41
  11. ↑ Levenson, Tsamir & Tirosh, 2007, pp. 83–95
  12. ↑ See data throughout Dehaene, Bossini & Giraux, 1993, and summary by Nuerk, Iversen & Willmes, 2004, p. 837.
  • Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics, London: Springer, ISBN 1-85233-236-0 
  • Anderson, Marlow & Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields, London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7 
  • Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language, Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9 
  • Arnold, C. L. (January 1919), "The Number Zero", The Ohio Educational Monthly Т. 68 (1): 21–22, <https://books.google.com/books?id=v3QbAQAAIAAJ&pg=PA21>. Проверено 11 апреля 2010. 
  • Arsham, Hossein (January 2002), Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives, <http://www.pantaneto.co.uk/issue5/arsham.htm>. Проверено 24 сентября 2007.  Архивная копия от 25 сентября 2007 на Wayback Machine
  • Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C. & Bass, Hyman (2005), "Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide?", American Educator, <http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65072>. Проверено 16 сентября 2007. 
  • Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer & Thames, Mark Hoover (2008), "Making mathematics work in school", Journal for Research in Mathematics Education Т. M14: 13–44 and 195–200, <http://www-personal.umich.edu/~dball/articles/BallLewisThames08.pdf>. Проверено 4 марта 2010. 
  • Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials, Springer, ISBN 0-387-40627-1 
  • Baroody, Arthur & Coslick, Ronald (1998), Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8, Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3 
  • Berlinghoff, William P.; Grant, Kerry E. & Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts (5th rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3 
  • Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2 
  • Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways, Sterling, ISBN 1-4027-1300-2 
  • Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes, Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5 
  • Caldwell, Chris K. & Xiong, Yeng (27 December 2012), "What is the Smallest Prime?", Journal of Integer Sequences Т. 15 (9), <http://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.html> 
  • Column 8 readers (10 March 2006a), Column 8 (First ed.), с. 18, Factiva SMHH000020060309e23a00049 
  • Column 8 readers (16 March 2006b), Column 8 (First ed.), с. 20, Factiva SMHH000020060315e23g0004z 
  • Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count, Macmillan, ISBN 0-312-36005-3 
  • Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket's Manual: United States Navy (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8 
  • Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge & Giraux, Pascal (1993), "The mental representation of parity and numerical magnitude", Journal of Experimental Psychology: General Т. 122 (3): 371–396, doi:10.1037/0096-3445.122.3.371, <http://www.unicog.org/publications/Dehaene_ParitySNARCeffect_JEPGeneral1993.pdf>. Проверено 13 сентября 2007.  Архивная копия от 19 июля 2011 на Wayback Machine
  • Devlin, Keith (April 1985), "The golden age of mathematics", New Scientist Т. 106 (1452) 
  • Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games, Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7 
  • Dickerson, David S & Pitman, Damien J (July 2012), Tai-Yih Tso, ed., "Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions", Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Т. 2: 187–195, <http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:542328/FULLTEXT01.pdf#page=193> 
  •  
  • Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test, Educational Testing Service, <http://www.ets.org/s/gre/pdf/gre_math_conventions.pdf>. Проверено 6 сентября 2011. 
  • Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures, Dordrecht, The Netherlands: Reidel 
  • Frobisher, Len (1999), Anthony Orton, ed., Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers, London: Cassell, с. 31–48 
  • Gouvêa, Fernando Quadros (1997), p-adic numbers: an introduction (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4 
  • Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-285361-5 
  • Graduate Management Admission Council (September 2005), The Official Guide for GMAT Review (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4 
  • Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse, Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X 
  • Hartsfield, Nora & Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7 
  • Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y. & Lewis, Jennifer M. (2008), "Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study", Cognition and Instruction Т. 26 (4): 430–511, DOI 10.1080/07370000802177235 
  • Hohmann, George (25 October 2007), Companies let market determine new name, с. P1C, Factiva CGAZ000020071027e3ap0001l 
  • Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition, Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X 
  • Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers, IAP, ISBN 1-59311-495-8 
  • Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry, CRC Press, ISBN 1-58488-052-X 
  • Levenson, Esther; Tsamir, Pessia & Tirosh, Dina (2007), "Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero", The Journal of Mathematical Behavior Т. 26 (2): 83–95, DOI 10.1016/j.jmathb.2007.05.004 
  • Lichtenberg, Betty Plunkett (November 1972), "Zero is an even number", The Arithmetic Teacher Т. 19 (7): 535–538 
  • Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms, Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4 
  • Lovas, William & Pfenning, Frank (22 January 2008), "A Bidirectional Refinement Type System for LF", Electronic Notes in Theoretical Computer Science Т. 196: 113–128, doi:10.1016/j.entcs.2007.09.021, <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1571066108000418>. Проверено 16 июня 2012. 
  • Lovász, László; Pelikán, József & Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond, Springer, ISBN 0-387-95585-2 
  • Morgan, Frank (5 April 2001), Old Coins, The Mathematical Association of America, <http://www.maa.org/features/mathchat/mathchat_4_5_01.html>. Проверено 22 августа 2009. 
  • Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C. & Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic, Springer, ISBN 3-540-43376-7 
  • Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke & Willmes, Klaus (July 2004), "Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect", The Quarterly Journal of Experimental Psychology A Т. 57 (5): 835–863, DOI 10.1080/02724980343000512 
  • Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics, Dordrecht: D. Reidel, ISBN 90-277-0809-6 
  • Penner, Robert C. (1999), Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures, River Edje: World Scientific, ISBN 981-02-4088-0 
  • Salzmann, H.; Grundhöfer, T.; Hähl, H. & Löwen, R. (2007), The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86516-6 
  • Siegel, Robert (19 November 1999), Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now., National Public Radio, <https://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=1066881> 
  • Smock, Doug (6 February 2006), The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods, с. P1B, Factiva CGAZ000020060207e226000bh 
  • Snow, Tony (23 February 2001), Bubba's fools, <http://www.jewishworldreview.com/tony/snow022301.asp>. Проверено 22 августа 2009. 
  • Sones, Bill & Sones, Rich (8 May 2002), To hide your age, button your lips, с. C07, <http://www.deseretnews.com/article/912430/To-hide-your-age-button-your-lips.html?pg=all>. Проверено 21 июня 2014. 
  • Starr, Ross M. (1997), General Equilibrium Theory: An Introduction, Cambridge University Press, ISBN 0-521-56473-5 
  • Steinberg, Neil (30 November 1999), Even year, odd facts (5XS ed.), с. 50, Factiva chi0000020010826dvbu0119h 
  • Stewart, Mark Alan (2001), 30 Days to the GMAT CAT, Stamford: Thomson, ISBN 0-7689-0635-0 
  • Stingl, Jim (5 April 2006), 01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life (Final ed.), с. B1, <http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306>. Проверено 21 июня 2014.  Архивная копия от 27 апреля 2006 на Wayback Machine
  • Tabachnikova, Olga M. & Smith, Geoff C. (2000), Topics in Group Theory, London: Springer, ISBN 1-85233-235-2 
  • The Math Forum participants (2000), A question around zero, Drexel University, <http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1178542>. Проверено 25 сентября 2007. 
  • Turner, Julian (13 July 1996), Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific, с. 23, Factiva grdn000020011017ds7d00bzg 
  • Wilden, Anthony & Hammer, Rhonda (1987), The rules are no game: the strategy of communication, Routledge Kegan & Paul, ISBN 0-7100-9868-5 
  • Wise, Stephen (2002), GIS Basics, CRC Press, ISBN 0-415-24651-2 
  • Wong, Samuel Shaw Ming (1997), Computational Methods in Physics and Engineering, World Scientific, ISBN 981-02-3043-5 

ru.wikipedia.org

Четные числа - это... Что такое Четные числа?

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19). Нуль считается чётным числом. [1]

Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2:   …−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…

Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2:   …−3, −1, 1, 3, 5, 7, 9…

Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

Арифметика

  • Сложение и вычитание:
    • Чётное ± Чётное = Чётное
    • Чётное ± Нечётное = Нечётное
    • Нечётное ± Чётное = Нечётное
    • Нечётное ± Нечётное = Чётное
  • Умножение:
    • Чётное × Чётное = Чётное
    • Чётное × Нечётное = Чётное
    • Нечётное × Нечётное = Нечётное
  • Деление:
    • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
    • Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
    • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
    • Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

Примечания

  1. «Чётные числа» в БСЭ.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Нечетные числа - это... Что такое Нечетные числа?

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19). Нуль считается чётным числом. [1]

Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2:   …−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…

Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2:   …−3, −1, 1, 3, 5, 7, 9…

Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

Арифметика

  • Сложение и вычитание:
    • Чётное ± Чётное = Чётное
    • Чётное ± Нечётное = Нечётное
    • Нечётное ± Чётное = Нечётное
    • Нечётное ± Нечётное = Чётное
  • Умножение:
    • Чётное × Чётное = Чётное
    • Чётное × Нечётное = Чётное
    • Нечётное × Нечётное = Нечётное
  • Деление:
    • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
    • Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
    • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
    • Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

Примечания

  1. «Чётные числа» в БСЭ.

Wikimedia Foundation. 2010.

biograf.academic.ru

Четное или нечетное число

Одна из первых характеристик чисел, с которой знакомятся дошкольники -  это четность или нечетность числа. Ребятам бывает непросто определить, где чет, а где нечет. Несколько простых упражнений помогут им в этом.

Определяем, четный или нечетный

Сначала расскажите ребенку, что такое четные и нечетные числа. Нечетное число - это то, которое нельзя поделить поровну на 2. Четное число можно поделить поровну на 2. Проиллюстрируйте это на примерах – раскладывайте перед ребенком разное количество карандашей и попытайтесь разделить на две равные части. Если получились, то число карандашей является четным. Если остался лишний карандаш – число нечетное.

 

Запоминанием

Четные и нечетные числа всегда чередуются. Запомнив, каким числами являются числа 1 и 2, можно без труда продолжить каждый из рядов.

Запоминаем: одну конфету НЕльзя не разламывая разделить между мамой и ребенком, значит 1 – НЕчетное число. Продолжаем ряд нечетных чисел, называя числа через одно - 3, 5, 7, 9 и т.д.

Две конфеты можно разделить поровну на двоих, значит 2 – четное число. Продолжаем ряд, называя числа через одно - 4, 6, 8, 10 и т.д.

Запомнив числа первого десятка, ребята без труда смогут определить четность или нечетность всех остальных чисел, посмотрев на последнюю цифру. Например,: 45, оно оканчивается на 5, нечетное число, значит и 45 - нечетное.

 

Закрепляем

Запоминание приходит с практикой. Вначале пусть ребенок продолжает ряды четных или нечетных чисел, начиная с указанного вами числа.  Затем пусть определит четность или нечетность любого числа. Можно поиграть в игру: вы загадываете число в небольшом диапазоне и сообщаете: оно находится между 4 и 7. А ребенок, используя вопрос: «Это четное или нечетное число?», пытается угадать задуманное число. Если ребенок угадал, то следующий вопрос задает он.

Превратите изучение четных и нечетных чисел в увлекательное занятие – и ребенок без труда освоит эту непростую тему!

iqsha.ru

Чётные и нечётные числа | Математика

Чётность в теории чисел

— характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, —8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1,3, 75, —19). Ноль считается чётным числом[1]. 

Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка:   …−4,−2,0,2,4,6,8,10...

Например 4 это четное число его можно разделить на 2. Это помогает в сложении.


Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка:   …−3,−1,1,3,5,7,9…

Иными словами чётное и нечётное — собственные названия классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

    Признак чётности

    Если в десятичной форме записи последняя цифра числа делится на два без остатка - число чётное. Если не делится - то нечётное.

    Арифметика

    Сложение и вычитание
    • чётное ± чётное = чётное
    • чётное ± нечётное = нечётное
    • нечётное ± чётное=нечётное
    • нечётное ± нечётное = чётное
    Умножение:
    • чётное × чётное = чётное
    • чётное × нечётное = чётное
    • нечётное × нечётное = нечётное
    Деление:
    • чётное / чётное — может быть любым
    • чётное / нечётное = чётное, если целое
    • нечётное / чётное — не может быть целым
    • нечётное / нечётное = нечётное, если целое

    История и культура

    Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.

    В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. В случаях когда в букете много цветов чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

    math.wikia.org

    Четные и нечетные числа - это... Что такое Четные и нечетные числа?

    Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19). Нуль считается чётным числом. [1]

    Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2:   …−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…

    Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2:   …−3, −1, 1, 3, 5, 7, 9…

    Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

    Признак чётности

    Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
    42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
    31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

    Арифметика

    • Сложение и вычитание:
      • Чётное ± Чётное = Чётное
      • Чётное ± Нечётное = Нечётное
      • Нечётное ± Чётное = Нечётное
      • Нечётное ± Нечётное = Чётное
    • Умножение:
      • Чётное × Чётное = Чётное
      • Чётное × Нечётное = Чётное
      • Нечётное × Нечётное = Нечётное
    • Деление:
      • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
      • Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
      • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
      • Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное

    История и культура

    Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.

    В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

    Примечания

    1. «Чётные числа» в БСЭ.

    Wikimedia Foundation. 2010.

    dic.academic.ru

    Чётные и нечётные числа - это... Что такое Чётные и нечётные числа?

    Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

    Определения

    • Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2:   …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
    • Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2:   …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

    В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.

    Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

    С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

    Признак чётности

    Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.

    42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
    31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

    Арифметика

    • Сложение и вычитание:
      • Чётное ± Чётное = Чётное
      • Чётное ± Нечётное = Нечётное
      • Нечётное ± Нечётное = Чётное
    • Умножение:
      • Чётное × Чётное = Чётное
      • Чётное × Нечётное = Чётное
      • Нечётное × Нечётное = Нечётное
    • Деление:
      • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
      • Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
      • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
      • Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное

    История и культура

    Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян»[1].

    В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.

    Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье.

    В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.

    Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются.
    Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

    Примечания

    dic.academic.ru

    Чётные - нечётные числа - Язык чисел

    Что означают чётные и нечётные числа в духовной нумерологии. В изучении языка чисел это очень важная тема! Чем по своей СУТИ чётные числа отличаются от нечётных чисел?

    Чётные числа

    Общеизвестно, что чётные числа — те, которые делятся на два. То есть, числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 и так далее.

    А что означают чётные числа относительно духовной нумерологии? Какова нумерологическая суть деления на два? А суть в том, что все числа которые делятся на два, несут в себе некоторые свойства двойки.

    У цифры 2 несколько значений. Во-первых, это самая «человечная» цифра в нумерологии. То есть, цифра 2 отражает в себе всю гамму человеческих слабостей, недостатков и достоинств — точнее, то, что в обществе принято считать достоинствами и недостатками, «правильностями» и «неправильностями».

    А поскольку данные ярлыки «правильности» и «неправильности» отражают наши ограниченные взгляды на мир, то и двойка вправе считаться самым ограниченным, самым «тупым» числом в нумерологии. Отсюда понятно, что чётные числа гораздо более «твердолобы» и прямолинейны, чем их нечётные собратья, которые на два не делятся.

    Это, впрочем, не говорит о том, что чётные числа хуже нечётных чисел. Просто они другие и отражают иные формы человеческого бытия и сознания в сравнении с нечётными числами. Чётные числа в духовной нумерологии всегда подчиняются законам обычной, материальной, «земной» логики. Почему?

    Потому что другое значение двойки: стандартно-логическое мышление. И все чётные числа в духовной нумерологии так или иначе, подчиняются определённым логическим правилам восприятия действительности.

    Элементарный пример: если камень подбросить вверх, он, набрав определённую высоту, устремится затем к земле. Так «думают» чётные числа. А нечётные числа запросто предположат, что камень улетит в космос; или не долетит, а застрянет где-нибудь в воздухе… надолго, на века. Или просто растворится! Чем нелогичнее гипотеза, тем ближе она к нечётным числам.

    Нечётные числа

    Нечётные числа — те, которые не делятся на два: числа 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 и так далее. С позиции духовной нумерологии нечётные числа подчиняются не материальной, а духовной логике.

    Что, кстати, даёт пищу для размышления: почему число цветов в букете для живого человека нечётное, а для мёртвого — чётное… Не потому ли, что материальная логика (логика в рамках «да-нет») мертва относительно души человека?

    Видимые совпадения материальной логики и духовной происходят очень часто. Но пусть это не вводит вас в заблуждение. Логика духа, то есть логика нечётных чисел, никогда в полной мере не прослеживается на внешних, физических уровнях человеческого бытия и сознания.

    Возьмём для примера число 3 — число любви. Мы разглагольствуем о любви на каждом шагу. Мы признаёмся в ней, мечтаем о ней, украшаем ею свою жизнь и чужую жизнь.

    Но что на самом деле мы знаем о любви? О той всепроникающей Любви, которая пронизывает собой все сферы Мироздания. Разве мы можем согласиться и принять, что в ней столько же холода, сколько и тепла, столько же ненависти, сколько доброты?! В состоянии ли мы осознать, что именно эти парадоксы составляют высшую, творческую суть Любви?!

    Парадоксальность — вот одно из ключевых свойств нечётных чисел. В толковании нечётных чисел надо понимать: не всегда то, что кажется человеку, является действительно существующим. Но в то же время, если что-то кому-то кажется, значит оно уже существует. Есть различные уровни Существования, и иллюзия — один из них…

    Кстати, зрелость ума характеризуется способностью воспринимать парадоксы. Поэтому для объяснения нечётных чисел требуется чуть больше «мозгов», чем для объяснения чётных чисел.

    Чётные и нечётные числа в нумерологии

    Подведём итоги. В чём главное отличие чётных чисел от нечётных?

    Чётные числа более предсказуемы (кроме числа 10), основательны и последовательны. События и люди, связанные с чётными числами, более устойчивы и объяснимы. Вполне доступны для внешних изменений, но только для внешних! Внутренние перемены — область  нечётных чисел…

    Нечётные числа — взбалмошны, свободолюбивы, неустойчивы, непредсказуемы. Они всегда преподносят сюрпризы. Вот вроде и знаешь смысл какого-то нечётного числа, а оно, это число, вдруг начинает вести себя так, что заставляет тебя заново пересмотреть чуть ли не всю твою жизнь…   

    ———————————————————————————————

    Обратите внимание!

    В магазины уже поступила моя книга под названием «Духовная нумерология. Язык чисел». На сегодняшний день это самое полное и востребованное из всех существующих эзотерических пособий о смысле чисел. Подробнее об этом, а также для заказа книги пройдите по следующей ссылке: «Духовная нумерология книга«

    С теплом, автор книги и этого сайта Иосиф Лазарев

    ———————————————————————————————

    yazik-chisel.org

    Обсуждение:Чётные и нечётные числа - Википедия

    О делимости чисел[edit source]

    Чётное число — целое число, которое делится на 2: …−4,−2,0,2,4,6,8…и.т.д Нечётное число — целое число, которое не делится на 2: …−3,−1,1,3,5,7,9… 

    Все числа делятся на 2 (например 3/2=1,5), но чётные делятся без остатка --Ustas 19:37, 16 января 2006 (UTC)

    Замечание мне кажется справедливым. С. Л. 19:42, 16 января 2006 (UTC)
    • Господа, лажа какая-то. 303/3 = 101 (целое). 303 - нечётное, 3 - нечётное. Критерий-то глюкавый. #!George Shuklin 17:46, 7 апреля 2007 (UTC)
    Всё верно, в критерии указано, что если получившееся число окажется целым (101), то оно будет нечётным. Я тоже не сразу понял, что означает запись "если целое". Сейчас попробую сформулировать иначе. -- bms 09:10, 22 апреля 2009 (UTC)

    Чётное vs нечётное[edit source]

    "В соответствии с этим определением нуль является чётным числом". Забавно, с каким же: "Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2"?

    • Да. — bms 04:41, 9 февраля 2011 (UTC)

    Сергей Михайлович,12 апреля 2012 Нуль-вообще не число. Это значок для обозначения пустого разряда, изобретен индийскими математиками в 6-5 веке н.э. в процессе изобретения системы позиционной записи чисел.Если он делится на 2 без остатка, так что ж тут удивительного - какой остаток может быть от нуля? Он и на 3 делится без остатка. На числовой оси нуль не достижим:какое бы сколь угодно малое число вы не назначили, от него до нуля будет бесконечное число чисел, а все потому, что нуль не число. Всё бы это было философией, если бы в статистике это непонимание не приводило к некоторым забавным результатам. А сегодня моя внучка получила 4 за то, что самым маленьким чётным числом назвала 2, а не 0. 92.243.166.245 11:53, 12 апреля 2012 (UTC)

    • Сделал приписку по этому поводу. Считаю, целесообразно. Во всяком случае, мы с ребёнком почти час по этому поводу разбирались. --Gorvzavodru 09:54, 21 января 2015 (UTC)
      • АИ выражаю намерение подобрать. После того как убежусь, что правка не будет немедленно откачена непримиримыми. --Gorvzavodru 09:58, 21 января 2015 (UTC)

    Чётность нуля[edit source]

    * Пара состоит из двух элементов.

    • Любое число, которое делится на два без остатка, и содержит по меньшей мере одну пару элементов, называется чётным числом.


    Ноль разделить на два, результат ноль пар и нулевой остаток.

    • Ноль пар - значит ноль не является чётным числом.
    • Нулевой остаток – значит ноль не является нечётным числом.

    Ноль не является нечётным или чётным числом.
    Спасибо.
    --Gvitalie 06:01, 31 июля 2015 (UTC)

    Замечательная идея — дать своё собственное, никем не признанное определение чётного числа, а потом торжественно доказать, что ноль ему не удовлетворяет. В энциклопедии признаются только определения из авторитетных источников, а все прочие считаются оригинальными исследованиями и не принимаются во внимание. Все любительские придумки лучше публиковать в другом месте, мы тут и так не скучаем. Недавно, например, один джентльмен доказывал, что ноль — вообще не число (потому что нет его в реальной природе), другой — что число Пи равно точно трём, а уж доказательствами трисекции угла и великой теоремы Ферма можно всю зиму печку топить. LGB 11:09, 31 июля 2015 (UTC)
    Спасибо. --Gvitalie 10:11, 2 августа 2015 (UTC)

    ноль это число[edit source]

    в ответ на ошибку выше по тексту,что ноль это не число ,замечу: ..ноль это целое число,о чем указано в статье Википедии "целое число" — Эта реплика добавлена участником 194.9.227.159 (о • в) 12:55, 25 января 2017 (UTC).

    Напрасно беспокоитесь, все математики без исключения считают ноль полноценным числом. Упомянутое вами мнение «выше по тексту» есть личное мнение его автора, авторитетное только для него самого. LGB (обс.) 13:30, 25 января 2017 (UTC)

    ок. — Эта реплика добавлена с IP 194.9.227.159 (о) 13:14, 26 января 2017 (UTC).

    ru.wikipedia.org

    Четные и нечетные числа | Astrostar.ru

    Во вселенной существуют пары противоположностей, которые являются важным фактором ее устройства. Основные свойства, которые нумерологи приписывают четным (1, 3, 5, 7, 9) и нечетным (2, 4, 6, 8) числам, как парам противоположностей, следующие:

    1 - активный, целеустремленный, властный, черствый, руководящий, инициативный;   
    2 - пассивный, восприимчивый, слабый, сочувствующий, подчиненный;
    3 - яркий, веселый, артистичный, удачливый, легко добивающийся успеха; 
    4 - трудолюбивый, скучный, безынициативный, несчастный, тяжелый труд и частое поражение;
    5 - подвижный, предприимчивый, нервный, неуверенный, сексуальный;
    6 - простой, спокойный, домашний, устроенный; материнская любовь;
    7 - уход от мира, мистика, тайны;   
    8 - мирская жизнь; материальная удача или поражение;
    9 - интеллектуальное и духовное совершенство.    

    Нечетные числа обладают гораздо более яркими свойствами. Рядом с энергией "1", блеском и удачливостью "3", авантюрной подвижностью и многогранностью "5", мудростью "7" и совершенством "9" четные числа выглядят не столь ярко. Насчитывается 10 основных пар противоположностей, существующих во Вселенной. Среди этих пар: четное - нечетное, один - много, правое - левое, мужское - женское, добро - зло. Один, правое, мужское и доброе ассоциировалось с нечетными числами; много, левое, женское и злое - с четными.

    Нечетные числа обладают некой производящей серединой, в то время как в любом четном числе есть воспринимающее отверстие как бы лакуна внутри себя. Мужские свойства фаллических нечетных чисел вытекают из того факта, что они сильнее четных. Если четное число расщепить пополам, то, кроме пустоты, посередине ничего не останется. Нечетное число разбить непросто, потому что посередине остается точка. Если же соединить вместе четное и нечетное числа, то победит нечетное, так как результат всегда будет нечетным. Именно поэтому нечетные числа обладают мужскими свойствами, властными и резкими, а четные - женскими, пассивными и воспринимающими.

    Нечетных чисел нечетное число: их пять. Четных чисел четное число - четыре.

    Нечетные числа - солнечные, электрические, кислотные и динамичные. Они являются слагаемыми; их с чем либо складывают. Четные числа - лунные, магнетические, щелочные и статичные. Они являются вычитаемыми, их уменьшают. Они остаются без движения, потому что имеют четные группы пар (2 и 4; 6 и 8).

    Если мы сгруппируем нечетные числа, одно число всегда останется без своей пары (1 и 3; 5 и 7; 9). Это делает их динамичными. Два подобных числа (два нечетных числа или два четных) не являются благоприятными.

    четное + четное = четное (статичное) 2+2=4
    четное + нечетное = нечетное (динамичное) 3+2=5
    нечетное + нечетное = четное (статичное) 3+3=6

    Некоторые числа дружественны, другие - противостоят друг другу. Взаимоотношения чисел определяются отношениями между планетами, которые ими управляют (подробности в разделе "Совместимость чисел"). Когда два дружественных числа соприкасаются, их сотрудничество не очень продуктивно. Подобно друзьям, они расслабляются - и ничего не происходит. Но когда в одной комбинации находятся враждебные числа, они заставляют друг друга быть настороже и побуждают к активным действиям; таким образом, эти два человека работают намного больше. В таком случае, враждебные числа оказываются на самом деле друзьями, а друзья - настоящими врагами, тормозящими прогресс. Нейтральные числа остаются неактивными. Они не дают поддержки, не вызывают и не подавляют активность.

    www.astrostar.ru

    Что такое нечетные числа и как их узнать? :: SYL.ru

    Прежде чем говорить про четные и нечетные числа, стоит уяснить несколько моментов о том, какие вообще группы чисел бывают. Это необходимо для того, чтобы не пытаться выяснять четность дроби.

    С каких чисел начинается изучение в основной школе?

    Первыми идут натуральные. Они также сначала появились исторически. Человечеству было необходимо подсчитывать предметы. Причем при счете ноль не используется, поэтому он не входит в группу натуральных чисел. Здесь все целые, которые больше единицы.

    Именно для них впервые дается определение четности. Чтобы понять, какое число нечетное, нужно запомнить признак четного. Оно заканчивается на одну из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Все остальные будут нечетными. Минимальное из них равно единице. Максимального не существует.

    Какие числа идут дальше?

    Целые. В их множество входит уже ноль и все отрицательные числа. Цепочка натуральных чисел была ограничена слева, а вправо продолжалась бесконечно. С целыми оказывается бесконечное количество чисел и слева от нуля.

    В этот момент немного меняется определение четности. Оно теперь должно делиться на два без остатка. Значит, нечетные числа при делении на два дают ответ с остатком.

    Причем даже вводится общая запись: для четных — 2n, нечетные — (2n+1). Если для натуральных не существует только максимального четного или нечетного, то у целых нет и минимального.

    А что потом?

    Рациональные (другое название - вещественные) числа. Кроме уже упомянутых, в это множество входят еще и дроби. То есть числа, которые можно представить в виде двух. Первое из них является числителем и представляется в виде целого числа. Второе — знаменатель, который никогда не равен нулю.

    Кстати, для них не вводится понятие четности. Поэтому нечетные числа, записанные в виде дроби, не существуют вовсе.

    Какие результаты дают действия с четными и нечетными числами?

    Их можно рассмотреть в порядке усложнения арифметического действия. Тогда первым и вторым пойдут сложение и вычитание. Неважно, какое из них выполняется, ответ будет зависеть только от начальной пары чисел. К примеру, если исходные числа четные, то результат действия будет делиться на два. Такой же итог будет, если стоит разность или сумма нечетных чисел. Чтобы получить нечетное число, придется складывать или вычитать четное с нечетным.

    Это легко можно проверить, используя их общую запись. Например, сложение двух четных чисел: 2n+2n = 4n = 2*2n. Здесь 2n — четное число, которое еще умножается на два. Значит, оно точно будет делиться нацело на двойку. То есть ответ — четный.

    При сложении четного с нечетным имеем такую запись: 2n + (2n + 1) = 4n + 1. Первое слагаемое — четное число, к которому прибавляется единица. Последнее слагаемое не даст разделить этот результат на два нацело.

    Третье действие — умножение. При его выполнении всегда будет четный ответ, если есть хотя бы один множитель четный. В ситуации, когда перемножаются два нечетных числа, результатом окажется нечетное.

    Для иллюстрации последнего потребуется сделать такую запись: (2n + 1) * (2n + 1) = 4n + 2n + 2n + 1 = 8n + 1. Опять первое слагаемое представляет собой четное число, а единица сделает его нечетным.

    С четвертым действием — делением - все не так однозначно. Начать можно с двух четных. Во-первых, может получиться дробь, тогда о четности речи не идет. Во-вторых, результатом бывает целое число. Но и тогда однозначного ответа на вопрос о будущей четности получить невозможно. Оценить ее можно только после выполнения деления. Ответ может быть как четным, так и нечетным.

    Если делится нечетное число на четное, то ответ оказывается всегда дробным. Значит, его четность не определяется.

    Когда в делении участвуют нечетные числа, то результатом также может оказаться дробь. Но если ответ целый, то он обязательно будет нечетным.

    При делении четного на нечетное, как в предыдущей ситуации, возможно два варианта: дробь или целое число. Во втором случае оно всегда будет четным.

    www.syl.ru


    Смотрите также