Как освободить тело от связей


Связи и их реакции - Лекции и примеры решения задач технической механики

Тела в природе бывают свободными и несвободными. Тела, свобода перемещения которых ничем не ограничена, называются свободными. Тела, ограничивающие свободу перемещения других тел, называются по отношению к ним связями.

Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости от связей, согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей.

Очень важно правильно расставить реакции связей, иначе написанные уравнения окажутся неверными. Ниже приведены примеры замены связей их реакциями. На рисунках 1.1–1.8 показаны примеры замены реакциями сил, расположенных в плоскости.


а – тело весом G на гладкой поверхности;
б – действие поверхности заменено реакцией – силой R;
в – в точке А связь «опорная точка» или ребро;
г – реакции направлены перпендикулярно
опираемой или опирающейся плоскостям

Рисунок 1.1

Подробнее про связи и реакции связей смотрите в нашем видео:

Реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности (рисунок 1.1). Реакция «невесомого» троса (нити, цепи, стержня) всегда направлена вдоль троса (нити, цепи, стержня) (рисунок 1.2).

а – балка висит на двух тросах;
б – действие тросов заменено силами Т1 и Т2;
в – связь «идеальный стержень»;
г – связь «идеальная нить»

Рисунок 1.2

Шарнирно-неподвижная опора может изображаться по-разному (рисунок 1.3, а или 1.3, б). Она может быть заменена либо силой R с углом α (рисунок 1.3, в), либо двумя силами, например, XA и YA (рисунок 1.3, г).


Рисунок 1.3

Всегда можно перейти от R и α к XA и YA (и наоборот):

XA = Rcosα;    YA = Rsinα;

Шарнирно-подвижная опора (рисунок 1.4, а) допускает (в данном случае) горизонтальное перемещение и не допускает вертикальное. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности (рисунок 1.4, б).

Рисунок 1.4

Связи шарнирно-неподвижной опоры в точке A и шарнирно-подвижной опоры в точке B отброшены (рисунок 1.5, б), их действие заменено силами XA, YA и RB.

Рисунок 1.5

Соединение стержня и втулки в плоскости (рисунок 1.6) – скользящая заделка. Отбросим втулку – получим действие на стержень силы RD и момента MD.

Рисунок 1.6

На рисунке 1.7, а изображена бискользящая заделка. В плоскости данная опора допускает поступательное перемещение стержня как по горизонтали, так и по вертикали, но препятствует повороту (в плоскости). Реакцией такой опоры будет момент MC (рисунок 1.7, б).

Рисунок 1.7

Консоль (глухая или жесткая заделка) не допускает никакого перемещения детали. Реакцией такой опоры являются неизвестная по величине и направлению сила RA с углом α (или XA и YA) и момент ΜA (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8

На рисунках 1.9 – 1.15 показаны примеры замены сил, расположенных в пространстве, их реакциями.

Шарнирно-неподвижная опора, или сферический шарнир (рисунок 1.9, а), заменена системой сил (рисунок 1.9, б) XA, YA и ZA, т.е. силой, неизвестной по величине и направлению.

Рисунок 1.9

На рисунке 1.10, а показан вал, закрепленный в опорах: в точке A – подпятник или стакан, в точке B – втулка или подшипник. Действие опор заменено силами XA, YA, ZA и XB, ZB (рисунок 1.10, б).

Рисунок 1.10

На рисунках 1.11 и 1.12 приведены примеры замены различных связей их реакциями.




Рисунок 1.11


Рисунок 1.12

>> Проекция силы на ось

Вы здесь:

Техническая механика > Теоретическая механика > Лекции по теоретической механике > Связи и их реакции

isopromat.ru

3.3 Виды Связей и их реакции

При взаимодействии между телом и его связями возникают силы, противодействующие возможным движениям тела. Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с некоторой силой, называемой силой давления на связь. Одновременно по закону о равенстве действия и противодействия связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленно силой.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакций связи.

Силовое взаимодействие связи на рассматриваемое тело приводится к силе R и паре сил с моментом М. Сила R называется реакцией связи, а момент Ммоментом реакции, опорным или реактивным моментом.

Реакции связи и опорные моменты относятся к пассивным силам, т.к. они не способны сообщить движение телу, т.е. не способны изменить кинематическое состояние тела. Все остальные силы – активные, способные изменить кинематическое состояние тела (не исчезают при устранении связей).

Принцип освобождаемости от связей

Для определения реакций связей используют принцип освобождаемости от связей или аксиому связей:

Всякое несвободное тело можно, мысленно отбросив связи, рассматривать как свободное, если действия связей заменить реакциями связей.

Определение реакций связей является одной из основных задач статического расчета любого сооружения или механизма.

В зависимости от направления реакций связи можно разделить на три группы:

1) направления реакций определяются связями и не зависят от других приложенных сил;

2) направление реакций частично определяются связями и зависят, кроме того, от других приложенных сил;

3) направление реакций заранее неизвестны и зависят от других приложенных сил.

Направление сил реакции (основные правила)

1. Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела.

2. Если связь разрешает поступательные движения тела в каком-то направлении, то силы реакции в таком направлении не будет, если связь запрещает движение в каком-то направлении, то реакция будет.

3. Если связь разрешает повороты вокруг нее, то момента реакции не будет, если запрещает повороты, то будет действовать момент реакции.

ОдНосторонние связи (1 группа)

К этой группе относятся следующие, часто встречающиеся в практических задачах связи:

связь в виде идеально гладкой поверхности;

свободное опирание тела о связь;

опора на катках;

гибкая связь;

идеальный блок.

3.3.1 Связь в виде гладкой (без трения) поверхности

Любая реальная поверхность является шероховатой и имеет трение. Если при движении по поверхности тело испытывает минимальное трение, например, при скольжении конькобежца по льду, при движении полированного стального или стеклянного бруска по полированной стеклянной или стальной поверхности и т.д. то силой трения можно пренебречь. В этом случае получим идеальную абсолютно гладкую поверхность. Подобное допущение упрощает решение задач.

Гладкая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхности соприкасающихся тел в точке их касания. Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке.

Пример 1. На гладкой неподвижной горизонтальной плоскости покоится шар (рис. 14 а). Плоскость, ограничивая движение шара, является для него связью. Если мысленно освободить шар от связи (рис. 14 б), то для удержания его в покое к нему в точке касания с плоскостью нужно приложить силу N, равную весу шара G по модулю и противоположную ему по направлению.

Сила N и будет реакцией плоскости. Тогда шар, освобожденный от связи, будет свободным телом, на которое действует задаваемая сила G и реакция плоскости N.

а)

б)

Рис. 14

Пример 2. На рисунке 15 показана связь в виде контакта двух идеально гладких поверхностей: цилиндрической поверхности с неподвижной горизонтальной плоскостью. Реакция связи N направлена также по нормали к опорной поверхности.

а)

б)

Рис. 15

Сила N и будет реакцией плоскости. Тогда шар, освобожденный от связи, будет свободным телом, на которое действует задаваемая сила G и реакция плоскости N.

studfile.net

Тема 2. Связи и их реакции

Тело, которое может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным.

    Тело, перемещениям которого препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещение данного тела, называют связью.

    Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствующая тем или иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Принцип освобождаемости от связей: несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие реакциями. В статике этот принцип позволяет рассматривать равновесие несвободного твердого тела как свободного под действием активных(заданных)сил и реакций связей.

    Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей на плоскости и направления их реакций.

1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора

Реакция N гладкой плоскости (поверхности) или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена к этой точке.

   

2. Гибкая нить (провода, канаты, цепи, ремни)

Реакция Т направлена вдоль нити к точке подвеса.

   

3. Невесомый стержень с шарнирами

Реакция N невесомого стержня направлена вдоль стержня. Обычно реакция Nизображается от тела по стержню, в предположении, что в равновесии стержень растянут.

 

4. Неподвижный цилиндрический шарнир илиподшипник

Реакция RAцилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси вращения, т. е. в плоскостиАху. Обычно ее раскладывают на две составляющие ХАи YAпо двум взаимноперпендикулярным направлениям.

5. Шарнирно-подвижная опора (опора на катках)

Реакция R проходит через ось шарнира и направлена перпендикулярно к опорной плоскости.

6. Жесткая заделка

Нахождение реакции жесткой заделки сводится к определению составляющих ХАи YAпрепятствующих линейному перемещению балки в плоскости действия сил, и алгебраической величине момента mA, препятствующего вращению балки под действием приложенных к ней сил.

Аксиома связей (принцип освобождения от связей) — одна из аксиом теоретической механики. Может быть сформулирована следующим образом:

Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями этих связей.

При этом под связью понимается всё то, что ограничивает движение тела.

Простейший пример применения аксиомы связей: если на горизонтальной поверхности (например, на столе) в поле тяжести Земли (то есть, в "обычных" земных условиях) лежит тело, то мы можем мысленно отбросить горизонтальную поверхность и заменить её действие силой реакции этой поверхности.

5. План решения задач(Рассмотреть на примере)

Приступая к решению задания, необходимо разобраться в условии задачи и рисунке, а затем:

1. Составить расчетную схему, которая включает:

                 - объект равновесия,

                 - активные (заданные) силы,

                 - силы реакции, заменяющие действия отброшенных связей.

2. Определить вид полученной системы сил и выбрать, соответствующие ей, уравнения равновесия;

3. Выяснить, является ли задача статически определимой;

                4. Составить уравнения равновесия и определить из них силы реакции;

                5. Сделать проверку полученных результатов.

При замене связей (опор) силами реакций помнить:

                - если связь препятствует перемещению тела только в одном каком-нибудь направлении, то направление ее реакции противоположно этому направлению;

                - если же связь препятствует перемещению тела по многим направлениям, то силу реакции такой связи изображают ее составляющими, показывая их параллельно выбранным координатным осям  и .

Решение уравнений равновесия будет тем проще, чем меньшее число неизвестных будет входить в каждое из них. Поэтому, при составлении уравнений равновесия следует:

1) координатные оси  и  располагать так, чтобы одна из осей была перпендикулярна к линии действия хотя бы одной из неизвестных сил, в этом случае проекция  неизвестной силы исключается из соответствующего уравнения равновесия;

2) за центр моментов выбирать точку, в которой пересекаются линии действия наибольшего числа неизвестных сил реакций, тогда моменты этих сил не войдут в уравнение моментов.

Если сила  в плоскости  имеет две составляющие ее силы  и , то при вычислении момента силы  вокруг некоторой точки О, полезно применить теорему Вариньона, вычислив сумму моментов составляющих ее сил относительно этой точки (см. рис. 4).

Если к телу в числе других сил приложена пара сил, то ее действие учитывается только в уравнении моментов сил, куда вносится момент этой пары, с соответствующим, знаком.

Пример 1. Шар веса  опирается в точке  на наклонную плоскость, образующую с вертикалью угол , и привязан к стене веревкой, которая образует с вертикалью угол  (рис.13а). Определить реакцию плоскости в точке  и натяжение веревки.

Рис.13

 

Решение: Обозначим искомую реакцию плоскости, направленную по нормали  к этой плоскости, через , а натяжение веревки – через . Линия действия всех трех сил  и  пересекаются в центре шара . Примем вертикаль и горизонталь в точке  за координатные оси и найдем проекции сил  и  на эти оси:

, , ,

, , .

Так как данная система сходящихся сил является плоской, то условия равновесия (4) имеют вид

1) 

2) 

Умножив первое уравнение на , а второе  на  и сложив их, получим

.

Затем из первого уравнения находим

.

В случае, когда веревка, удерживающая шар, параллельна наклонной плоскости , получим , .

Для решения этой же задачи графическим способом, необходимо построить замкнутый силовой многоугольник. Построение силового многоугольника всегда нужно начинать с известных, заданных сил. Из произвольной точки  (рис.13б) проведем вектор , параллельный данной  силе , длина которого в выбранном масштабе изображает модуль этой силы. Затем через точки  и  проводим прямые, параллельные линиям действия искомых сил  и , которые пересекутся в точке . Векторы  и  определяют искомые силы  и .Чтобы найти направление искомых сил на силовом треугольнике , нужно обойти этот треугольник по его периметру, причем направление этого обхода  определяется направлением данной силы . Измерив длину сторон  и  и зная масштаб, в котором построена сила , найдем численные значения сил и .

studfile.net

1.3. Виды связей и их реакции

1. Гладкая (без трения) опорная поверхность. Такая связь препятствует движению тела в одном направлении. Реакция гладкой поверхности направлены всегда по общей нормали к поверхности тела и поверхности связи в их точке касания (рис. 6).

Рис. 6

Рис. 7

2. Гибкая связь. Реакции гибких связей всегда направлены вдоль самих связей к точке их подвеса (рис. 7).

3. Неподвижный цилиндрический шарнир (неподвижная шарнирная опора). Тело может только вращаться вокруг оси шарнира, перпендикулярной плоскости рисунка (рис. 8).

Рис. 8

Реакция RA проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости. При решении задач целесообразно заменить ее составляющими RAX и RAY.

4. Подвижная шарнирная опора. Реакция такой опоры направлена по нормали к опорной поверхности (рис. 9).

Рис. 9

5. Стержень. Стержень – прямолинейный невесомый элемент с двумя шарнирами на концах. При отсутствии нагрузки по его длине реакция стержня направлена вдоль его оси (рис. 10).

Рис.10

Рис.11

6. Шаровой шарнир (рис. 11). Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать линейных перемещений в пространстве, при решении задач целесообразно заменить эту силу ее составляющими RAX, RAY, RAZ.

7. Жесткая заделка (неподвижное защемление). Такая связь не допускает не только линейных перемещений, но и поворота тела (рис. 12).

Рис. 12

Со стороны связи на тело действует реакция RA и момент MA (момент реакции заделки или реактивный момент). При решении задач рекомендуется силу заменить ее составляющимиRAX и MA.

Равновесие несвободных тел изучается в статике на основании аксиомы связей:

-всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие соответствующими реакциями.

Например, элемент, для которого связями являются шарнирно-неподвижная опора А и стержень ВС (рис. 13,а), можно рассматривать как свободное тело, находящееся в равновесии под действием заданных сил и реакций связей RAX, RAY и RB (рис. 13,б). Значения этих реакций определяются из условий равновесия.

а) б)

Рис. 13

1.4. Плоская система сходящихся сил

Система си, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил (рис. 14,а.)

а) б) в)

Рис. 14

Продолжив линии действия заданных сил до пересечения, перенесем точки приложения сил в точку пересечения (рис. 14,б).

Используя последовательно правило параллелограмма, получим:

; .

В общем случае (для n сил): .

Таким образом, система сходящихся сил приводится к равнодействующей, равной их векторной сумме и проходящей через точку их пересечения.

Равнодействующую можно определить графически с помощью векторного (силового многоугольника (рис. 14,в). Для этого последовательно в выбранном масштабе откладываются векторы заданных сил. Равнодействующей системы сил является вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Равнодействующую можно также определить аналитическим способом. Проекция силы на ось (рис. 15,а) определяется произведением модуля силы на косинус угла между направлением силы и направлением оси.

На рис. 15,б показан многоугольник сил. Из рисунка видно, что

,

где ; , …., .

а) б)

Рис. 15

Аналогичные соотношения можно записать и для оси Y.

Т.е. проекция равнодействующей на какую-либо ось равна сумме проекций составляющих сил на ту же ось:

, (4)

Равнодействующая определяется так:

(5)

где ,– единичные векторы – орты.

Модуль равнодействующей равен

(6)

Направление вектора равнодействующей определяется с помощью направляющих косинусов – косинусов углов между равнодействующей и осями x, y:

, (7)

studfile.net

Связи, реакции связей и принцип освобождаемости в статике.

Теоретическая механика



Принцип освобождаемости.
                   Связи и реакции связей

Как уже упоминалось в предыдущих статьях, статика изучает условия, при которых тела и материальные точки находятся в состоянии равновесия. Казалось бы, благодаря аксиомам статики, описывающим основные свойства силового взаимодействия между телами, решение задач равновесия тел не должно представлять трудностей - неизвестные силы можно найти, зная, что они должны уравновешиваться известными силами, отсюда и ключ к решению.
Тем не менее, основная сложность при расчетах заключается в том, что силы - векторные величины, и для решения задач необходимо знать не только их скалярные размерности (модули), но и направление в пространстве, а также точки приложения. В результате получается, что каждая неизвестная сила содержит три вопроса: куда она направлена, где приложена, и какова ее величина?

Исключить некоторые неизвестные составляющие сил помогает анализ связей между телами. Как мы уже знаем, все тела и материальные точки подразделяются на свободные и связанные (несвободные). В статике чаще всего приходится решать задачи, в которых рассматривается условие равновесия связанных тел, т. е. имеющих некоторые (или полные) ограничения на перемещение в пространстве относительно других тел.
Эти ограничения называются связями.

Примерами связей, ограничивающих перемещение тела, может послужить поверхность или какая-либо опора, на которой лежит тело, жесткая заделка части тела в массив, исключающая любое его перемещение, а также гибкие и шарнирные связи, частично ограничивающие возможность тела перемещаться в пространстве.
Анализ таких связей позволяет понять, какие силовые факторы возникают в них при противодействии перемещению связанного тела. Эти силовые факторы называют силами реакции или реакциями связей (обычно их называют просто реакциями).
Силы, которыми тело воздействует (давит) на связи называют силами давления.
Следует отметить, что силы реакций и давлений приложены к различным телам, поэтому не представляют собой систему сил.

Силы, действующие на любое тело можно разделить на активные и реактивные.
Активные силы стремятся перемещать тело, к которому они приложены, в пространстве, а реактивные силы - препятствуют этому перемещению. Силы реакции связей относятся к реактивным силам.
Принципиальное отличие активных сил от реактивных заключается в том, что величина реактивных сил зависит от величины активных сил, но не наоборот. Активные силы часто называют нагрузками.

При решении большинства задач статики несвободное тело условно изображают как свободное с помощью так называемого принципа освобождаемости, который формулируется следующим образом: всякое несвободное (связанное) тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их реакциями.

***



Типичные связи тел и их реакции

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся связи, а также возникающие в них реакции при приложении нагрузок.

Идеально гладкая плоскость

Реакция идеально гладкой плоскости направлена перпендикулярно опорной плоскости в сторону тела, так как такая связь не дает телу перемещаться лишь в одном направлении - в сторону опорной плоскости, т. е. перпендикулярно ей (см. рисунок 1,а).
Если же тело находится на наклонной плоскости, то силу его тяжести G можно разложить на две составляющие, из которых одна будет направлена параллельно плоскости (Xa), другая - перпендикулярно ей (Ya). При этом первая сила будет стремиться передвигать тело по плоскости в сторону уклона, а вторая - прижимать его к плоскости (см. рисунок 1,б).
Реакция наклонной плоскости будет равна по модулю составляющей, перпендикулярной плоскости и направлена в сторону, противоположную этой составляющей, уравновешивая ее. Если тело касается плоскости одной точкой (например, шар или угол), то реакция будет приложена к этой точке тела.
В других случаях, когда тело касается плоскости некоторой поверхностью, имеет место взаимодействие посредством нагрузки, распределенной по этой поверхности (распределенной нагрузки).

Идеально гладкая поверхность

Идеально гладкая поверхность (отличается от плоскости криволинейностью) реагирует перпендикулярно касательной плоскости, т. е. по нормали к опорной поверхности в сторону тела, так как нормаль - единственное направление перемещения тела, которое не допускает данная связь (см. рисунок 1,в).

Закрепленная точка или ребро угла

В случае, если перемещение тела ограничивается закрепленной точкой или ребром угла, реакция связи направлена по нормали к поверхности идеально гладкого тела в сторону тела, так как нормаль к поверхности тела - единственное направление, движение в котором ограничено этим видом связи (см. рисунок 1,г).

Гибкая связь

Реакция гибкой связи (гибкая нить) не дает телу удаляться от точки подвеса и поэтому направлена вдоль связи от тела к точке подвеса, т. е. известны точка приложения реакции гибкой связи и ее направление. На рисунке 2 изображена гибкая связь, служащая связующим звеном между двумя стержнями и телом.

В конструкциях широкое распространение имеют связи, которые называются шарнирами. Шарнир представляет собой подвижное соединение двух тел (деталей), допускающее только вращение вокруг общей точки (шаровой шарнир) или вокруг общей оси (цилиндрический шарнир). Рассмотрим, какие реакции возникают при связывании тела с помощью шарниров.

Идеально гладкий цилиндрический шарнир

При связывании тела цилиндрическим шарниром возможно его перемещение вдоль оси шарнира и вращение относительно этой оси. Реакция цилиндрического шарнира расположена в плоскости, перпендикулярной его оси и пересекает эту ось. Направление вектора реакции шарнира на этой плоскости зависит от направления вектора нагрузки.
Примером цилиндрического шарнира может послужить обыкновенный подшипник качения.

Идеально гладкий шаровой шарнир

В этом случае заранее известно лишь то, что реакция проходит через центр шарнира, так как тело, связанное шаровым шарниром, может поворачиваться в любом направлении относительно оси шарнира, но не может совершать никаких линейных перемещений в пространстве, т. е. удаляться от центра шарнира или приближаться к нему.

Идеально гладкий подпятник

Подпятник можно рассматривать, как сочетание цилиндрического шарнира и опорной плоскости, поэтому реакция подпятника считается состоящей из двух составляющих: Xa и Ya. При этом одна из реакций будет направлена вдоль нормали к опоре в сторону тела (как у опорной плоскости), другая - перпендикулярно оси подпятника (как у цилиндрического шарнира).
Полная реакция подпятника будет равна векторной сумме этих составляющих: Ra = Xa +Ya.

Стержень, закрепленный шарнирно

Стержень, закрепленный двумя концами в идеально гладких шарнирах и нагруженный концами (рис. 2), реагирует только по линии, соединяющей оси шарниров, т. е. вдоль своей оси (согласно III аксиоме статики). При этом реакция стержня может быть направлена и к центру шарнира (точке крепления), и от него (в зависимости от направления нагрузки), поскольку этот вид связи удерживает тело на фиксированном расстоянии, не позволяя ему удаляться или приближаться. Этим стержень принципиально отличается от гибкой связи, у которой реакция всегда направлена от точки крепления в сторону связи (гибкая связь удерживает тело только от удаления, не запрещая ему приближаться к точке крепления).

Жесткая заделка

Этот вид связи полностью лишает тело возможности перемещаться в любом направлении и вращаться относительно какой-либо оси или точки.
При жесткой заделке тела (рис. 3) в опоре возникает не только реактивная сила RA, но и реактивный момент МA.
Жесткая заделка является "темной лошадкой" при вычислениях, поскольку изначально ни направление реакций, ни их величина неизвестны, особенно если нагрузка представлена системой сил. Тем не менее, используя разложение активных сил на составляющие, последовательно можно определить и реактивную силу RA, и реактивный момент MA, действующие в жесткой заделке.
В случае, если тело связано не только жесткой заделкой, но и другим видом связи, задача становится нерешимой обычными методами статики, поскольку неизвестных реакций больше, чем возможное количество уравнений равновесия.

Пример решения задачи по определению реакций жесткой заделки приведен на этой странице.

***

Понятие бруса и балки в технической механике

В статике нередко приходится решать задачи на условие равновесия элементов конструкций, называемых брусьями.
Брусом принято считать твердое тело, у которого длина значительное больше поперечных размеров. Осью бруса считается геометрическое место (множество) центров тяжести всех поперечных сечений этого бруса.
Брус с прямолинейной осью, положенный на опоры и изгибаемый приложенными к нему нагрузками, называют балкой.

***

Распределенные нагрузки



k-a-t.ru

1 Аксиомы статики

А1(1 з-н Ньютона) Аксиома инерции:

Тело сохраняет первоначальное состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока другие тела не выведут его из этого состояния.

А2 (3 з-н Ньютона) Аксиома взаимодействия:

Силы взаимодействия 2 тел равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

А3 Условия равновесия двух сил:

Для равновесия тела, находящегося под действием 2 сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

А4 Аксиома присоединения:

Система уравновешенных сил механического состояния твердого тела не изменится, если к нему присоединить или удалить систему уравновешенных сил.

А5 Аксиома параллелограмма:

Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на этих силах и приложенных в этой же точке.

А6 Аксиома затвердевания:

Любое тело не изменит свое механическое состояние при переходе в абсолютно твердое.

2 Связи и их реакции. Принцип освобождаемости от связей. Основные виды связей.

Тело называется свободным, если его перемещения в пространстве с течением времени ничем не ограничены.

В любом другом случае тело является несвободным.

Связи – ограничения, налагаемые на свободу любого несвободного тела.

Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей.

Принцип освобождаемости от связей:

Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, заменив их реакциями.

Виды связей:

  • Гладкая поверхность (опора без трения)

  • Шероховатая поверхность

  • Цилиндрический шарнир (подшипник)

  • Сферический шарнир

  • Гибкая нить

  • Невесомый стержень

  • Жесткая заделка (защемление)

  • Опорные реакции балок

  • Шарнирно-подвижная опора

  • Шарнирно-неподвижная опора

  • Жесткая заделка

3 Теорема о трех силах

Если под действием трех сил твердое тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются в одной точке, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

4 Система сходящихся сил

Система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил системы пересекаются в одной.

Равнодействующая системы сходящихся сил Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Если у такой системы сил л.д. расположены в одной плоскости, то она называется плоской системой сходящихся сил. В любом другом случае система сходящихся сил пространственная.

Равнодействующая сходящихся сил равна геометрической сумме этих сил и приложена в точке их пересечения .

Проекцией силы на ось называется направленный отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными к соответствующей оси из начала к концу вектора силы.

В случае пространственной системы сил используется метод двойного проецирования: сначала сила проецируется на плоскость, а затем определяются проекции полученной проекции на осях координат.

Условия равновесия системы сходящихся сил в геометрической и аналитической формах. Теорема о трех непараллельных силах.

Геометрическое условие равновесия:

Силовой многоугольник должен быть замкнут, т.е. конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Аналитическое условие равновесия:

Равенство 0 проекций равнодействующей на оси координат (Rx=0, Ry=0, Rz=0).

Для равновесия тел, находящихся под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая была равна 0 (R=0).

Для равновесия тела, находящегося в системе сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы были равны 0 алгебраические суммы проекций всех сил на оси произвольно выбранных систем координат.

Теорема о трех непараллельных силах:

Используется когда известны величина и направление одной силы, линия действия другой и точка приложения третьей.

Линии действия трех непараллельных уравновешенных сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.

R12=F1+F2

Равновесие равнодействующей R12 сил F1 и F2 возможно только в том случае, если третья сила F3 будет направлена по линии действия R12 противоположно ей, т.е. проходить через точку пересечения линии действия сил F1 и F2.

5 Момент силы относительно центра это вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и вектор силы, в ту сторону ,откуда “вращение” силы вокруг точки направлено против хода часовой стрелки.

studfile.net

Техническая механика. Шпаргалка. 2. Связи и реакции связей (Аурика Луковкина, 2009)

2. Связи и реакции связей

Все тела делятся на свободные и связанные.

Свободные тела – это тела, перемещение которых не ограничено.

Связанные тела – это тела, перемещение которых ограничено другими телами.

Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.

Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей. Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.

Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).

Связи делятся на несколько типов.

Связь – гладкая опора (без трения) – реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре.

Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) – груз подвешен на двух нитях. Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.

Жесткий стержень – стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.

Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент.

Шарнирная опора. Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.

Подвижный шарнир. Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки). Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, так как не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.

Неподвижный шарнир. Точка крепления перемещаться не может.

Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее изображают в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной (Rx, Ry).

Защемление, или «заделка». Любые перемещения точки крепления невозможны.

Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент Мz, препятствующий повороту.

Реактивная сила представляется в виде двух составляющих вдоль осей координат:

R = Rx+ Ry.

kartaslov.ru

Связи и реакции связей. Принцип освобождаемости от связей. Виды связей.

Связи и реакции связей. Принцип освобождаемости от связей. Виды связей.

Ограничения, налагаемые на несвободные тела - связи. Принцип освобождаемости от связей: любое несвободное тело можно рассм. как свободное, если отбросить связи, заменив их реакциями.Направление реакции связи противоположно возможному перемещению, уничтожаемому данной связью.Виды связей.1. гладкая пов-ть (опора без трения). 2. шероховатая поверхность. 3. гибкая нить (элемент, обладающий ничтожно малой жёсткостью на изгиб, способный работать только на растяжение). 4. невесомый стержень . 5. опорные реакции балок: шарнирно-подвижная опора, шарнирно-неподвижная, жесткая заделка(защемление).

5. Плоская система сходящихся сил. Геом-ий способ определения равнодействующей. Геом-ое условие равновесия плоской системы сходящихся сил.

Система сил наз-ся сходящейся, если линии действия сил пересекаются в одной точке. Если линии действия сил расположены в одной плоскости, система явл-ся плоской, в любом другом случае - пространственной. Равнодействующая сходящихся сил равна геометрической сумме этих сил и приложена в точке их пересечения . Равнодействующая может быть найдена геометрич. способом – построением силового (векторного) многоугольника или аналитич. способом, проектируя силы на оси координат. В геометрической форме: для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнут (рассмотрим на примере плоской сходящейся системы сил .R=сумма всех F).

Проекции силы на оси координат.

Проекции силы на ось - направленный отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными к оси из начала и конца вектора силы. Проекция равна взятому со знаком +или- произведению модуля силы на косинус острого угла между осью и линией ее действия. Проекция положительна, если направления силы и оси совпадают, и наоборот. Если на тело действует несколько сил, то модуль равнодействующей можно опред-ть через модули ее проекций на оси координат:
Направление вектора равнодействующей задается направляющими косинусами.

7. .Аналитический способ определения равнод. Плоской СИ сходящихся сил. Аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

Аналитический метод определения равнод. плоской системы сходящихся сил основан на методе проекции.

Для равновесия тела при действии на него сходящихся сил необходимо и достаточно чтобы равнодейств. была равна 0. При аналитическом решении для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю.

R=суммаF=0

8. Теорема о равновесии трёх непараллельных сил. Если (абсолютно твердое) тело находится в равновесии под действием плоской системы трех непараллельных сил (т.е. сил, из которых хотя бы две непараллельные), то линии их действия пересекаются в одной точке. Следует заметить, что выведенное условие равновесия трех непараллельных сил является необходимым, но не достаточным, т. е. мы можем утверждать, что если три непараллельные силы находятся в равновесии, то их линии действия пересекаются в одной точке, но мы не вправе сделать обратного заключения. Если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то отсюда вовсе не следует, что эти три силы представляют собой уравновешенную систему сил. Рассмотренная теорема имеет большое методическое значение при решении задач статики.

9. Пространственная система сходящихся сил. Условия равновесия.

Геометрическое условие равновесия:

Силовой многоугольник должен быть замкнут, т.е. конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Аналитическое условие равновесия:

Равенство 0 проекций равнодействующей на оси координат (Rx=0, Ry=0, Rz=0).

Mox(Fk)=0

Moy(Fy)=0

Moz(Fz)=0

Для равновесия тел, находящихся под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая была равна 0 (R=0).

Для равновесия тела, находящегося в системе сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы были равны 0 алгебраические суммы проекций всех сил на оси произвольно.

10. Сложение 2-х параллельных сил. Момент силы относительно точки.

Сложение параллельных сил.

Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону равна алгебраической сумме модулей составляющих сил. Линия действия равнодействующей делит отрезок, заключённый между точками приложения сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Две параллельные, противоположно направленные силы, не равные по модулю, эквиваленты равнодействующей, модуль которой равен разности модулей слагаемых сил и направлены в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей делит отрезок, заключённый между точками приложения сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Если модули противоположно направленных сил равны, то такая система не имеет равнодействующей, она сообщает свободному телу вращательное движение и называется парой сил.

Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы , т. е.

T0(F)=±F*l

Между моментом пары и моментами сил пары относительно любой точки существует такая важная зависимость: алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любой точки — величина постоян­ная для данной пары и равна ее моменту.

Крат­чайшее расстояние от центра момента до линии действия силы — называется плечом силы относи­тельно данной точки; знак плюс ставится в случае, если сила F стремится повернуть плечо / против хода часовой стрелки, а знак минус — в противоположном случае.

 

 

11. Пара сил и момент пары сил. Свойства пары сил.

Пара сил – совокупность двух противоположно направленных равных по модулю параллельных сил, действующих по несовпадающим линиям действия.

Плоскость, в которой действует пара сил, называется плоскостью действия пары.

Момент пары сил не зависит от выбора центра привидения, а определяется лишь модулями сил и расстоянием между л.д. – плечом пары.

Векторный момент пары сил – вектор, направленный перпендикулярно плоскости действия пары сил таким образом, чтобы, смотря ему навстречу, пара сил стремилась поворачивать плоскость действия против часовой стрелки.

Алгебраический момент пары сил равен произведению модуля одной из сил, составляющих пару, на плечо пары и имеет знак в соответствии с правилом знаков для момента силы.

Свойства пар сил:

Не изменяя действия на тело пару сил можно поворачивать в плоскости действия и переносить в любое место этой плоскости

Можно изменять модули сил, составляющих пару и плечо пары, но таким образом, чтобы момент пары оставался неизменным.

Пару сил можно переносить в параллельную ей плоскость действия.

 

12. Эквивалентность пары. Теоремы об эквивалентности парах.Две пары сил называются эквивалентными, если равны между собой моменты этих пар. Поэтому пара сил характеризуется при решении задач лишь моментом пары и обозначается m=M0(F1;F2).теоремы: 1)Две пары сил произвольно расположенных в пространстве эквивалентны одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар. 2) если на тело действует произвольная система пар, то ветор момента результирующей пары равен векторной сумме моментов составляющих пар. 3)Если все пары сил расположены перп1ендикулярно одной плоскости, то вектора моментов пар направлены перпендикулярно этой плоскости в ту или иную сторону, поэтому моменты пар можно складывать алгебраически. 4) для равновесия тела, находящегося под действием системы произвольно расположенной в пространстве пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен 0.

 

13. ) Сложение пар сил. Условие равновесия плоской системы пар.

Теорема о сложении пар сил:

Две пары сил, произвольно расположенные в пространстве, эквивалентны одной паре с моментом равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Если на тело действует произвольная система (М1,М2,…,Мn) пар, то вектор момента результирующей пары равен векторной сумме моментов, составляющих пары. M=M1+M2+…+Mn=ΣMk (сверху векторы)

Если две пары сил расположены в одной плоскости, то векторы моментов пар направлены перпендикулярно этой плоскости в ту или иную стороны. Поэтому моменты пар можно складывать алгебраически. M=M1+M2+…+Mn=ΣMk

Условие равновесия системы пар сил:

Для равновесия тела, находящегося под действием системы произвольно расположенных в пространстве пар, необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей (эквивалентной) пары был равен 0.

M=ΣMk=0

В случае, если все пары сил расположены в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), то для равновесия необходимо равенство 0 алгебраической суммы моментов составляющих пар.

Связи и реакции связей. Принцип освобождаемости от связей. Виды связей.

Ограничения, налагаемые на несвободные тела - связи. Принцип освобождаемости от связей: любое несвободное тело можно рассм. как свободное, если отбросить связи, заменив их реакциями.Направление реакции связи противоположно возможному перемещению, уничтожаемому данной связью.Виды связей.1. гладкая пов-ть (опора без трения). 2. шероховатая поверхность. 3. гибкая нить (элемент, обладающий ничтожно малой жёсткостью на изгиб, способный работать только на растяжение). 4. невесомый стержень . 5. опорные реакции балок: шарнирно-подвижная опора, шарнирно-неподвижная, жесткая заделка(защемление).

5. Плоская система сходящихся сил. Геом-ий способ определения равнодействующей. Геом-ое условие равновесия плоской системы сходящихся сил.

Система сил наз-ся сходящейся, если линии действия сил пересекаются в одной точке. Если линии действия сил расположены в одной плоскости, система явл-ся плоской, в любом другом случае - пространственной. Равнодействующая сходящихся сил равна геометрической сумме этих сил и приложена в точке их пересечения . Равнодействующая может быть найдена геометрич. способом – построением силового (векторного) многоугольника или аналитич. способом, проектируя силы на оси координат. В геометрической форме: для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнут (рассмотрим на примере плоской сходящейся системы сил .R=сумма всех F).



infopedia.su

2. Свободные и несвободные тела. Связи и их реакции

Свободным называют тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения и пространстве в любом направлении. Если же тело связано с другими телами, которые ограничивают ею движение в одном или нескольких направ­лениях, то оно является несвободным. Тела, которые ограничи­вают движение рассматриваемого тела, называют связями. Силы, противодействующие возможным движениям тела - реак­ции связей. Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Виды связей:

Связь в виде гладкой (т. е. без трения) плоскости. В этом случае реакция связи всегда направлена по нормали к опорной поверхности.

Связь в виде контакта цилиндрической или шаровой поверх­ности с плоскостью.

Связь в виде шероховатой плоскости. Здесь возникают две составляющие реакции: нормальная Rn, перпендикулярная плоскости, и сила трения Rt, лежащая в плоскости. Полная реакция R, равная геометрической сумме.

Гибкая связь, осуществляемая веревкой, тросом, цепью и т. п. Реакции гибких связей направлены вдоль связей, причем гибкая связь может работать только на растяжение.

Связь в виде жесткого прямого стержня с шарнирным закреплением концов. Здесь реакции всегда направлены вдоль осей стер­жней. Стержни при этом могут быть как растянутыми, так и сжатыми.

Связь, осуществляемая ребром двугранного угла или точечной опорой. Реакция такой связи направлена перпендикулярно по­верхности опирающегося тела.

63. Сравнительная хар-ка подшипников скольжения и качения.

Для поддержания О и В с насаженными на них деталями и воспринятия действующих на них усилий служат спец.опоры нагружаемые радиальными силами – подшипники. По хар-ру трения раб.элементов – ПС и ПК. В опорах К. потери на трение обычно меньше чем в ОС. Износ в ОК пренебрежимо мал. Обеспечение в ОС жидкостного трения, при котором потери на трение соизмеримы с потерями в ОК не всегда возможно. Недостатки ПК по сравнению с ПС: ограниченная возм-сть работы при больших угл.скоростях и нагрузках, большой диаметр.

3. Плоская с-ма сходящихся сил. Геом и анатитич м-ды определения равнодей-щей. Ур-е равновесия

Силы называют сходящимися, если их линии действия пересе­каются в одной точке. Силу можно переносить по линии ее действия, поэтому сходящиеся силы всегда можно перенести в одну точку — в точку пересечения их линий действия. Для определения их рав­нодействующей сложим последовательно все данные силы, исполь­зуя правило треугольника. Замыкающая сторона многоуг-ка представляет собой равнодействующую F заданной системы сил, равную их геометрической сумме. Когда при построении силового многоуг-ка конец послед­ней силы совместится с началом первой, равнодействующая системы сходящихся сил окажется равной нулю. В этом случае система сходящихся сил находится в равновесии.

Проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положитель­ным направлением оси. проекция равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

В системе сходящихся сил равнодействующая может быть найдена через проекции составляющих. Численное значение равнодействующей силы F через ее проек­ции определяется по формуле F= F² x + F² y

Система, сходящихся сил находится в равно­весии, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каж­дую из двух координатных осей равны, нулю. Поэтому F=0 при выполнении условий: ∑ Fх=0; ∑ Fy=0;

studfile.net

Типы связей_Методика решения задач Статики

Типы связей.

1. Нить (гибкая, невесомая, нерастяжимая)

Рассматривается светильник, который подвешен на нити, он отклонен от своего вертикального положения равновесия на некоторый угол α силой F. Положим необходимо найти силу натяжения нити. Для этого необходимо освободиться от связи (разрезать нить и ввести силу, равную её натяжению). Здесь и ниже реакция связи обозначается красным цветом.

Кстати, значение силы натяжения в рассматриваемом случае равно T = P/cos α . Этот результат получается из уравнения равновесия: суммы проекций всех сил на ось у (см. ниже записанное уравнение).

Сила F, необходимая для отклонения светильника от вертикали будет равна F = P tg α .

Эти результаты получены из уравнений равновесия светильника, освобожденного от связи (правый рисунок).

ΣХ = − F + T sin α = 0 ; ΣY = − P + T cos α = 0

Используемая здесь система координат имеет стандартную ориентацию осей (ось абсцисс – ось x, ось ординат – ось у )

2. а) Невесомый, ненагруженный стержень

Рассматривается светильник, который подвешен на изогнутом стержне. Этот стержень является абсолютно твердым телом, он невесомый и ненагруженный, представляет собой связь реакция, которой направлена

вдоль прямой соединяющей его концы. На рисунке, справа она изображена красным цветом. В рассматриваемом случае стержень “работает” на растяжение. Кстати, форма стержня при этом никакого значения не имеет.

Предположим, что стержень отклонен силой F от вертикального положения на угол α.

Из уравнений равновесия для стержня, освобожденного от связи (правый рисунок).

ΣХ = − F + RA sin α = 0 ; ΣY = − P + RA cos α = 0

Несложно получить значение силы реакции RA = P / cos α и F = P tg α .

2. б) Невесомый, ненагруженный стержень

Рассматривается светильник, который опирается на изогнутый стержень, удерживается в равновесии заданной силой F . Этот стержень является абсолютно твердым телом, он невесомый и ненагруженный, поэтому представляет собой связь, реакция которой направлена вдоль прямой соединяющей его концы (и снова она изображена красным цветом). В этом случае стержень “работает” на сжатие. Как и в предыдущем случае, форма стержня никакого значения не имеет. Уравнения равновесия имеют аналогичный вид, как и в выше рассмотренном случае а).

3. Гладкая опора

«Карандаш в стакане».

Точки контакта карандаша: с вертикальной стенкой стакана – А; с дном – В; с верхним краем – С. Предполагается, что стенки стакана и его дно абсолютно гладкие. Гладкой является также поверхность самого карандаша. Поэтому ввиду отсутствия сил трения реакции связей будут направлены по нормали к опорной поверхности. В точке А контакта карандаша с вертикальной стенкой реакция будет горизонтальной. В точке В контакта с дном – вертикальной. Наконец, в точке С контакта карандаша с верхним краем, реакция будет направлена по нормали к поверхности самого карандаша.

В рассматриваемом случае, освобожденный от связей карандаш содержит три неизвестные реакции и традиционных уравнений проекций сил на координатные оси уже недостаточно

ΣХ = − RС sin α + RA = 0 ;

ΣY = RВ + RС cos α − P = 0

Необходимо ещё одно уравнение. Таким уравнением может быть уравнение моментов всех сил, приложенных к рассматриваемому телу, относительно любой точки. Но чтобы уравнение не оказалось слишком громоздким, возьмем точку А.

Σ MА = − P lcos α + RС b = 0

Здесь через b обозначена длина части стержня BC и через l обозначена половина всей его длины (вес карандаша P приложен посредине). Из этого уравнения получаем

RС = P bl cos α

Из проекций сил на координатные оси можно получить значения реакций RA и RВ.

4. Опора на катки

Горизонтальная балка АВ в точке А имеет катковую опору, а в точке В свободно опирается на гладкую наклонную плоскость. Поскольку справа балка опирается на абсолютно гладкую поверхность наклонной плоскости, то реакция будет направлена по нормали к этой плоскости. Реакция катковой опоры также направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки, составляющая вдоль опорной поверхности отсутствует (так как в противном случае катки бы откатились).

Реакция RA образует угол ( 90 − α) со стержнем, а реакция RВ обра-

зует с горизонтом угол ( 90 − β). Уравнения равновесия в проекциях на координатные оси имеют вид

ΣХ = RA sin α − RВ sin β = 0, ΣY = RA cos α + RВ cos β − G = 0

Представленная система линейных алгебраических уравнений относительно RA и RВ легко разрешима.

5. Цилиндрический шарнир

Наклонная балка АС имеет цилиндрический шарнир в точке А и свободно опирается в точке В на выступ. Поверхность балки считается абсолютно гладкой, весит она G, а ещё на неё действует пара сил с моментом М. Реакция в точке В будет направлена по нормали к поверхности балки (поскольку её поверхность является абсолютно гладкой ). Для введения реакции в цилиндрическом шарнире следует отметить, что в общем случае она неопределенна, т.е. неизвестна ориентация вектора реакции и её модуль. В таких си-

туациях реакцию представляют в виде двух составляющих заданной ориентации (как правило, взаимно ортогональных), но неизвестных по своему значению. При найденных значениях составляющих модуль реакции находится как корень квадратный из суммы квадратов составляющих.

Уравнения равновесия в рассматриваемом случае имеют вид

ΣХ = ХA − RВ sin α = 0, ΣY = YA + RВ cos α − G = 0

Σ MА = M − G

 

 

AC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos α

+ RВ

 

AB

 

= 0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При заданных геометрических соотношениях, система линейных алгебраических уравнений относительно ХA , YA и RВ легко разрешима.

 

 

 

AC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= G

 

 

 

 

cos α − M /

 

AB

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ХA

= RВ sin α,

 

 

YA = G − RВ cos α.

6.”Заделка”

Консольная балка АС концом А заделана в вертикальную стенку. Реакция в точке А (в общем случае) представляется тремя составляющими, две из которых проекции силы реакции на координатные оси

--

--

RA =

XA i

+ YA j

а третья – пара сил с моментом Mz , называемым моментом заделки.

Уравнения равновесия в рассматриваемом случае имеют вид

ΣХ = ХA − P = 0, ΣY = YA − G = 0

Σ MА = M + Mz − G

 

 

AC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos α + P

 

 

sin α = 0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из первых двух уравнений находятся

ХA = P и YA = G.

Модуль силы реакции вычисляется по формуле

 

XA2 + YA2 = P 2 + G 2

RA

=

Третья составляющая реакции заделки определяется из уравнения моментов

 

 

 

AC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mz = G

 

 

 

 

cos α − M − P

 

 

sin α

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Типы связей (пространственная система сил).

Приведенные выше примеры связей с 1 по 5 (освобождение от связи и введение соответствующих реакций) целиком и полностью распространяется и на пространственный случай (предполагается, что пространственная декартовая система координат Oxyz плоскость Oxy имеет такую же, как и в рассмотренном выше случае), отличие будет, имеет место лишь в случае “Заделка”.

Рассмотрим ниже помимо “заделки” и ещё два примера

– “шаровой шарнир” и “подпятник”.

На рисунке изображен фонарный столб с его проводами, растяжками и т.п. Не вдаваясь в подробности приложенных к нему сил, рассмотрим лишь реакцию связи – “заделка”.

Реакция закопанного столба определяется шестью неизвестными, три из них проекции силы реакции относительно координатных осей и три осевых момента.

--

--

--

 

--

--

--

RA =

XA i

+ YA j

+ ZA k ,

MA

=

Mx i

+ My j

+ Mz k

Модули силы реакции и момента находится как обычно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

RA

 

 

=

XA2 + YA2 + ZA

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

MA

=

 

Mx

+ Mу

+ Mz

 

7. Сферический шарнир

Это устройство, в отличие от цилиндрического шарнира, имеет подвижную часть сферическую и делает неподвижным центр этой сферы. Если сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция такого шарнира направлена по нормали к поверхности. Поэтому единственное, что

достоверно известно об этой реакции, что она проходит через центр шарнира, а ориентация реакции может быть любой.

Освобождая тело от такой связи необходимо ввести три неизвестных составляющих (XA , YA , ZA ).

--

--

--

RA =

XA i

+ YA j

+ ZA k

Модуль силы реакции находится по формуле

 

 

 

 

XA2 + YA2

2

 

RA

=

+ ZA

 

8. Подпятник

Это устройство состоит из двух частей: цилиндрический стакан и собственно цилиндр, в него установленный и опирающийся на дно стакана, с цилиндром связана какая-либо подвижная часть, например, тяжелая дверь.

В отличие от цилиндрического шарнира эта связь имеет неизвестную ещё третью составляющую, от дна стакана. Поэтому освобождая тело от такой связи, необходимо ввести три составляющие. Модуль же реакции находится как обычно

 

 

 

 

XA2 + YA2

2

 

RA

=

+ ZA

 

Методика решения задач статики

Прежде чем приступить к решению какой-нибудь задачи по статике, изложим последовательность действий, которые рекомендуется придерживаться при решении любой задачи по статике.

1°. Освободить систему от внешних связей, заменив их действие реакциями внешних связей.

2°. Расчленить систему на отдельные тела или отдельные группы тел, вводя реакции внутренних связей с учётом аксиомы о действии и противодействии.

3°. Составить уравнения равновесия для каждого выделенного тела или группы тел, и найти неизвестные силы.

Замечания.

1°. На первом этапе распределённые нагрузки (если таковые имеются на каких-либо участках) следует заменить сосредоточенными силами.

2°. Ненагруженные поводки не следует считать самостоятельными телами (это просто одни из видов связей).

Пример решения задачи

Д а н о: AВ = AС, AD = DO; α; F.

Определить реакции в точках A, B, C и O, проверив при этом выполнение условия равновесия.

Следуя методике решения задач статики (см. выше) на первом шаге необходимо «освободить механическую систему от внешних связей и действие связей заменить соответствующими реакциями связей». В рассматриваемом случае внешними связями служат два цилиндрических шарнира в точках О и С соответственно и свободное опирание наклонной балки СВ на абсолютно гладкую горизонтальную поверхность. Как отмечалось ранее, реакция в цилиндрическом шарнире, в общем случае, не определена и для удобства решения задачи, её имеет смысл представить виде двух составляющих, ориентацию которых выберем в соответствии со стандартной прямоугольной системой координат (горизонтальная ось, ось абсцисс – Ox и вертикальная ось ординат – Oy) .

Рис. 2. Механическая система освобождена от внешних связей.

По завершению первого шага (а он выполнен см. Рис. 2) имеем: пять неизвестных реакции XО , YО , XC YC и RВ, (здесь и далее неизвестные реакции обозначены красным цветом).

Для плоской системы сил можно составить только три линейно независимых уравнения. Отсюда следует, что поскольку систему трёх уравнений с пятью неизвестными разрешить невозможно, то придется расчленять меха-

studfile.net

Связи и их реакции. Освобождение тел от связей

Тела, ограничивающие перемещение в пространстве рассматриваемого тела, называются связями(рис. 19 - 24). Силы, с которыми связи действуют на рассматриваемое тело, называются реакциями связей.

Реакция связи всегда направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Правильное определение направлений реакций связей при решении задач статики играет решающую роль. Связи считаются идеальными, если у них не учитываются силы трения.

Тело называется свободным, если возможны любые его перемещения в пространстве. Тело называется несвободным, если его перемещения в пространстве ограничены другими телами.

Постулат связей.Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действия реакциями связей. Реакции связей направлены по нормалям к их поверхностям. На рис. 19 - 22 показаны примеры связей и их реакций.

 

 

Рис. 19. Связь в виде идеальной гладкой поверхности: а) тело взаимодействует со связью; b) тело освобождено от связи ( - реакция связи; - сила тяжести).

Рис. 20. Связь в виде неподвижногоцилиндрического шарнира:

а) тело взаимодействует со связью; b) тело освобождено от связи

 

Поскольку направление результирующей реакции цилиндрического шарнира остается в общем случае неизвестным (рис. 21, а), то такую связь представляют в виде двух составляющих и , спроектированных на оси координат (рис. 21, b).

Рис. 21. Нерастяжимая гибкая связь (трос, цепь…):

а) тело взаимодействует со связью; b) тело освобождено от связи ( и - реакции связей; - сила тяжести)

 

 

Рис. 22. Связь в виде острия: а) тело взаимодействует со связью;

b) тело освобождено от связи ( и - реакции связей;

- сила тяжести)



Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 257;


Похожие статьи:

poznayka.org


Смотрите также